Đáp án & giải thích đề môn Toán k12
Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Nghệ An năm 2025 - Lần 1
DOL THPT
Apr 03, 2026
Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Nghệ An năm 2025 - Lần 1 được xây dựng dưới mô hình thi thử trắc nghiệm online, giúp bạn hiểu rõ cấu trúc đề thi. Nền tảng chấm điểm ngay sau khi bạn làm xong bài, đồng thời lưu kết quả bài làm để bạn dễ theo dõi lộ trình ôn tập, đi kèm lời giải chi tiết, dễ hiểu và tải PDF đề thi miễn phí HOÀN TOÀN MIỄN PHÍ.
Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Nghệ An năm 2025 - Lần 1
Download PDF
Miễn phí dowload
Câu hỏi đề bài
22 Câu hỏi
Phần I
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .
Nghiệm của phương trình \cos x = \dfrac{1}{2} là
x = \dfrac{-2\pi}{3} + k2\pi,\ x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})
x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi,\ x = \dfrac{-\pi}{3} + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})
x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi,\ x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})
x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi,\ x = \dfrac{-\pi}{3} + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như sau. Điểm cực đại của đồ thị hàm số đã cho là:
M(-3; -3)
x = -1
x = -3
N(-1; 1)
Kết quả điều tra tổng thu nhập trong năm 2024 của một số hộ gia đình ở thành phố Vinh được ghi lại ở bảng sau. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là
260
200
250
150
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \sqrt{cos x}, hai đường thẳng x = 0, x = \frac{\pi}{2} và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành.
2\pi
1
2
\pi
Một nhóm có 5 học sinh, trong đó có 3 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 học sinh để tham gia 1 cuộc khảo sát. Tính xác suất để 2 học sinh được chọn đều là học sinh nữ.
\dfrac{3}{11}
\dfrac{3}{10}
\dfrac{1}{5}
\dfrac{3}{20}
Cho hàm số y = \dfrac{ax + b}{cx + d} \ (ad - bc \ne 0) có đồ thị như hình vẽ. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho có phương trình là
y = 1
y = -1
x = 1
x = -1
Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x
\int f(x)\,dx = 2^x + C
\int f(x)\,dx = \dfrac{2^{x+1}}{x+1} + C
\int f(x)\,dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C
\int f(x)\,dx = 2^x \ln 2 + C
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có tâm I(1; -4; 0) và bán kính bằng 3. Phương trình của mặt cầu (S) là
(x+1)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 9
(x+1)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 3
(x-1)^2 + (y+4)^2 + z^2 = 9
(x-1)^2 + (y+4)^2 + z^2 = 3
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \dfrac{x-2}{2} = \dfrac{y+2}{2} = \dfrac{z}{3} đi qua điểm nào sau đây?
B(0;-6;-6)
C(4;0;3)
A(-2;2;0)
D(3;0;3)
Tập nghiệm của bất phương trình 4^x < 1 là
(0;+\infty)
(0;1)
(-\infty;1)
(-\infty;0)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với đáy. Tính số đo góc nhị diện [B,SA,D].
60^\circ
90^\circ
30^\circ
45^\circ
Cho cấp số cộng (u_n) có u_2 = 2 và công sai d = 3. Số hạng u_6 của cấp số cộng là
18
14
17
13
Phần II
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa đang âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những “nghệ nhân tí hon” kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm t (giờ) được ký hiệu là N(t). Ban đầu (t = 0 giờ), mật độ vi khuẩn đo được là N(0) = 10 triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn N'(t) (đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức: N'(t) = 22t - 3t^2 (triệu tế bào/ml/giờ) với t là thời gian tính bằng giờ (0 \le t \le 10).
Phát biểu
Đúng
Sai
a
N'(1) = 19 triệu tế bào/ml/giờ.
b
\int N'(t)\,dt = 11t - t^3.
c
So với lúc ban đầu (t = 0), mật độ vi khuẩn đã tăng thêm 35 triệu tế bào/ml khi đến thời điểm t = 5 giờ.
d
Tại thời điểm t = 10 giờ, mật độ vi khuẩn trong 1 ml sữa chua là 100 triệu tế bào/ml.
Trong một phòng thí nghiệm có máy đo nồng độ khí CO_2 cho thấy: nồng độ khí CO_2 trong phòng thay đổi theo thời gian t (tính bằng giờ) và được thể hiện qua hàm số: f(t) = 400 + \dfrac{2000t}{t^2 + 5} (ppm), với t \ge 0 (Khi nồng độ khí CO_2 trong không khí là 400 ppm, điều đó có nghĩa là: Trong một triệu phần thể tích của không khí, có 400 phần thể tích là khí CO_2.)
Phát biểu
Đúng
Sai
a
Nồng độ khí CO_2 trong phòng tại thời điểm t = 0 là 400 (ppm).
b
f'(t) = \dfrac{-2000t^2 - 10000}{(t^2 + 5)^2}, \quad \text{với } t \ge 0.
c
Nghiệm phương trình f'(t) = 0 là t = 2.
d
Nồng độ khí CO_2 cao nhất đo được trong phòng thí nghiệm (làm tròn đến hàng đơn vị) là 947 (ppm).
Một công ty tổ chức chương trình bốc thăm trúng thưởng nhân dịp nghỉ lễ 30/4 và 1/5 cho 100 nhân viên. Trong hộp có 100 vé, trong đó có 4 vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí ở Thái Lan, 10 vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí ở Đà Nẵng và 20 vé trúng thưởng tour du lịch miễn phí tại Cửa Lò (Nghệ An), các vé còn lại trúng thưởng năm triệu đồng. Lần lượt từng nhân viên lên bốc ngẫu nhiên một vé (không hoàn lại).
Phát biểu
Đúng
Sai
a
Xác suất để người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là \dfrac{33}{50}.
b
Xác suất để người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là \dfrac{13}{20}, biết rằng người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng.
c
Xác suất để người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là \dfrac{33}{50}.
d
Để tạo bất ngờ cho người bốc thăm tiếp theo, sau khi người thứ nhất bốc thăm, người dẫn chương trình giữ lại vé và không công bố kết quả. Người bốc thăm thứ hai bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng. Xác suất người bốc thăm thứ nhất bốc được vé trúng thưởng năm triệu đồng là \dfrac{65}{99}.
Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một mặt địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm A cách mặt đất 12\,m, cách điểm xuất phát 7\,m về phía nam và 3\,m về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm B cách mặt đất 10\,m, cách điểm xuất phát 5\,m về phía bắc và 2\,m về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (coi như phẳng), có trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị đo mỗi trục là mét). Khi đó:
Phát biểu
Đúng
Sai
a
Tọa độ của điểm A(7; 3; 12).
b
Phương trình đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại A và B là: \begin{cases} x = 7 + 12t \\ y = 3 + 5t \\ z = 12 + 2t \end{cases}
c
Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB đi qua M(2; 3; 1).
d
Trên mặt đất người ta đặt một thiết bị phá sóng flycam sao cho có thể phá sóng hai chiếc flycam tại hai vị trí A, B cùng một lúc. Tổng khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị đó đến hai chiếc flycam tại hai vị trí A và B (làm tròn đến hàng phần trăm) bằng 25{,}55\,(\text{m}).
Phần III
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian Oxyz, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 mét trên thực tế. Mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng (P) thẳng đứng, đi qua hai điểm C(-50; -45; 0) và D(-20; -60; 0). Vị trí giao hàng là điểm B nằm trên mặt phẳng (P). Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ O(0; 0; 0). Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí A(-30; -30; 40). Từ vị trí A, drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng (P) đến vị trí giao hàng B. Tính khoảng cách từ O đến B (làm tròn đến hàng chục).
Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 40\,m. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông. Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh L_0 = 18\,m, mặt đỉnh là hình vuông có cạnh L_{40}=18\,m. Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh L_{min} = 13\,m. Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối).
Một nhà đầu tư có số vốn là 3 tỷ đồng (3000 triệu đồng) và dự định phân bổ vào quỹ cổ phiếu A và quỹ trái phiếu B. Các thông tin và điều kiện đầu tư như sau: Quỹ cổ phiếu A có tỷ suất sinh lời là 15\%/năm. Quỹ trái phiếu B có tỷ suất sinh lời là 7\%/năm. Tổng số tiền đầu tư không vượt quá 3000 triệu đồng. Phải đầu tư ít nhất 400 triệu đồng vào quỹ trái phiếu B. Không đầu tư quá 2200 triệu đồng vào quỹ cổ phiếu A. Với các điều kiện trên thì nhà đầu tư có thể đạt được tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Gọi x là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị: dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là: C(x) = x^2 + 27 (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là: T(x) = x + 3 (giờ). Xưởng muốn xác định kích thước đáy để mỗi chụp đèn vừa tiết kiệm thời gian sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng về thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị x.
Một nhà máy sản xuất sản phẩm A có tỷ lệ sản phẩm bị lỗi là 1{,}5\%. Nhà máy sử dụng hai hệ thống kiểm tra chất lượng độc lập để phát hiện lỗi: Hệ thống 1: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là 95\%. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là 1\%. Hệ thống 2: Xác suất phát hiện chính xác sản phẩm lỗi là 90\%. Xác suất báo lỗi nhầm trên một sản phẩm không lỗi là 5\%. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Biết rằng sản phẩm này bị cả hai hệ thống kiểm tra đều báo lỗi. Tính xác suất để sản phẩm này thực tế không bị lỗi. Kết quả xác suất này sau khi đã làm tròn đến hàng phần nghìn là số có dạng 0{,}0ab (với a, b là chữ số). Biết rằng a = 2, b = 4. Tính giá trị của 10a + b.
Một bể bơi với mặt nước khi đầy có dạng hình chữ nhật với chiều rộng 15\,m và chiều dài 30\,m. Các thành bể xung quanh thẳng đứng từ đáy lên là một mặt phẳng nghiêng. Chiều sâu tại một đầu bể là 1{,}2\,m và tăng dần đều đến 2{,}0\,m ở đầu kia của bể (xem hình vẽ). Ban đầu bể không chứa nước. Người ta sử dụng một máy bơm công suất lớn để bơm nước vào bể với tốc độ không đổi là 100\,m^3/\text{giờ}. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì máy bơm đầy bể nước?
Xem đáp án và bài mẫu
Answer key
Nghiệm của phương trình \cos x = \dfrac{1}{2} là
x = \dfrac{-2\pi}{3} + k2\pi,\ x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})
x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi,\ x = \dfrac{-\pi}{3} + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})
x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi,\ x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi\ (k \in \mathbb{Z})
x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi,\ x = \dfrac{-\pi}{3} + k\pi\ (k \in \mathbb{Z})
Giải thích câu 1
Giải thích chi tiết
😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!
📃 Thông tin đề bài cho:
Phương trình: \cos x = \dfrac{1}{2}
❓ Hiểu câu hỏi:
Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \cos x = \tfrac{1}{2} trên tập số thực.
Vận dụng kiến thức về giá trị đặc biệt của hàm số cosin và công thức nghiệm tổng quát của phương trình lượng giác.
🔎 Hướng dẫn cách làm:
Bước 1: Xác định góc chính \alpha sao cho \cos\alpha = \tfrac{1}{2}. Ta có \alpha = \tfrac{\pi}{3} (theo vòng tròn lượng giác).
Bước 2: Áp dụng công thức nghiệm tổng quát của \cos x = \cos\alpha: x = 2k\pi \pm \alpha,\quad k\in\mathbb{Z}.
Bước 3: Thay \alpha = \tfrac{\pi}{3} vào, thu được x = 2k\pi + \tfrac{\pi}{3} \quad\text{và}\quad x = 2k\pi - \tfrac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.
Bước 4: Viết lại nghiệm thứ hai dưới dạng x = -\tfrac{\pi}{3} + 2k\pi cho rõ ràng.
✅ Đáp án: x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\quad x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}
❌ Các đáp án khác:
A: x = -\tfrac{2\pi}{3} + 2k\pi,\ x = \tfrac{2\pi}{3} + 2k\pi sai vì \cos\bigl(\pm\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = -\tfrac{1}{2}\neq \tfrac{1}{2}.
C: x = \tfrac{2\pi}{3} + 2k\pi,\ x = \tfrac{\pi}{3} + 2k\pi sai vì \cos\tfrac{2\pi}{3} = -\tfrac{1}{2}.
D: x = \tfrac{\pi}{3} + k\pi,\ x = -\tfrac{\pi}{3} + k\pi sai vì chu kỳ của \cos x là 2\pi, không phải \pi.
Bạn đang luyện đề THPTQG Môn Toán thuộc chuyên mục luyện thi THPT Quốc gia. Để tiếp tục với nhiều đề thi khác, bạn học có thể xem thêm những đề liên quan khác bên dưới.
