Đáp án & giải thích đề môn Toán k12
Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025 - Lần 2
DOL THPT
Apr 03, 2026
Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025 - Lần 2 được xây dựng dưới hình thức thi thử trắc nghiệm online, giúp bạn hiểu rõ format đề thi. Hệ thống chấm điểm tự động sau khi bạn nộp bài, đồng thời lưu kết quả bài làm để bạn tiện theo dõi quá trình ôn luyện, đi kèm đáp án giải thích rõ ràng và tải PDF đề thi miễn phí HOÀN TOÀN MIỄN PHÍ.
Đề tham khảo tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD&ĐT Phú Thọ năm 2025 - Lần 2
Download PDF
Miễn phí dowload
Câu hỏi đề bài
22 Câu hỏi
Phần I
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chọn một phương án .
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9. Tọa độ tâm của mặt cầu đã cho là
(2;-1;3)
(-2;1;3)
(-2;1;-3)
(-2;-1;3)
Họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2^x là
\dfrac{2^x}{\ln 2} + C
2^x \ln 2 + C
x \cdot 2^{x-1} + C
2^x \ln x + C
Cho hàm số y = \dfrac{ax + b}{cx + d} \quad (a,b,c,d \in \mathbb{R}) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Tọa độ tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là
(-1;1)
(1;1)
(1;-1)
(0;1)
Hai mẫu số liệu ghép nhóm A, B có bảng tần số ghép nhóm như sau. Gọi \Delta Q_A, \Delta Q_B lần lượt là khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm A, B. Phát biểu nào sau đây đúng?
\Delta Q_B = 2\Delta Q_A
\Delta Q_B = 0{,}3 + \Delta Q_A
\Delta Q_B = \Delta Q_A
\Delta Q_B = 0{,}3\Delta Q_A
Số nghiệm của phương trình \log(2x - 1) = \log(x^2 - 4) là
2
0
1
3
Nếu \int_a^b f(x)\,dx = 2025 thì \int_a^b 2f(x)\,dx bằng
2025^2
\dfrac{2025}{2}
2023
4050
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
( -\infty; -2 )
(-2;0)
(0; +\infty)
(-1;1)
Cho cấp số nhân (u_n) có u_1 = 1, u_4 = 27. Công bội q của cấp số nhân đã cho bằng
\dfrac{26}{3}
\pm 3
-3
3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Đường thẳng CD vuông góc với mặt phẳng nào dưới đây?
(SAC)
(SAD)
(SAB)
(SBC)
Cho tứ diện S.ABC với M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Khẳng định nào sau đây đúng?
\overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{PN} - \overrightarrow{PM})
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{PN} - \overrightarrow{PM}
\overrightarrow{AB} = 2(\overrightarrow{PM} - \overrightarrow{PN})
\overrightarrow{AB} = 2(\overrightarrow{PN} - \overrightarrow{PM})
Tập nghiệm của phương trình (0{,}2)^x \leq 4 là
( -\infty; \log_4 0{,}2 ]
[ \log_{0{,}2} 4; +\infty )
( -\infty; \log_{0{,}2} 4 ]
[ \log_4 0{,}2; +\infty )
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình: 2x - y + z - 4 = 0. Phương trình mặt phẳng (Q) song song với (P) và đi qua điểm M(1;-1;3) là
2x - y + z + 6 = 0
2x + 3y - z + 4 = 0
2x - y + z - 6 = 0
x - y + 3z - 6 = 0
Phần II
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số v(t) = -0{,}1t^3 + t^2, trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng cm/tuần. Gọi h(t) (tính bằng cm) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t.
(Nguồn: A. Bigalke et al., Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).
Phát biểu
Đúng
Sai
a
h'(t) = v(t)
b
h(t) = -\dfrac{t^4}{40} + \dfrac{t^3}{3} + 5,\ t \geq 0
c
Giai đoạn tăng chiều cao của cây cà chua kéo dài 9 tuần.
d
Chiều cao tối đa của cây cà chua (kết quả làm tròn đến hàng phần chục) bằng 88{,}3 cm.
Cho hàm số f(x) = 2\sin x + \sqrt{3}x.
Phát biểu
Đúng
Sai
a
f(0) = 0,\ f(\pi) = \sqrt{3}\pi
b
Đạo hàm của hàm số đã cho là f'(x) = -2\cos x + \sqrt{3}
c
Nghiệm của phương trình f'(x) = 0 trên đoạn [0;\pi] là x = \dfrac{\pi}{6}
d
Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [0;\pi] bằng 1 + \dfrac{5\sqrt{3}\pi}{6}
Đường ống dẫn dầu trên không là hệ thống đường ống được treo trên các giá đỡ hoặc cột cao, dùng để vận chuyển dầu thô hoặc các sản phẩm dầu mỏ từ nơi này đến nơi khác mà không cần chôn dưới lòng đất. Hệ thống này thường được sử dụng trong các khu vực có địa hình khó khăn, vùng băng giá, rừng rậm..., những nơi mà việc đào đường ống ngầm không khả thi. Với hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp, mặt đất là mặt phẳng (Oxy), đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dẫn dầu trên không dọc theo đường thẳng d:\begin{cases}x=0 \\ y=t \\ z=20\end{cases}(t\text{ l^^e0 tham s^^^^1ed1}). Vì địa hình phức tạp, người ta chọn điểm A(15;10;15) để làm điểm trung chuyển dầu từ mặt đất đến đường ống này.
Phát biểu
Đúng
Sai
a
Đường thẳng d nằm trên mặt phẳng (Oyz).
b
Điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (Oxy) có tọa độ A'(-15;-10;15).
c
Do thực tế công việc, người ta cần xác định vị trí điểm B(0;b;20) thuộc đường ống và vị trí điểm C(m;n;0) thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đường AB, BC, AC' nhỏ nhất. Ta có m+n+b = \dfrac{200}{7}.
d
Giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài các đoạn đường AB, BC, AC làm tròn đến hàng phần chục bằng 45,5 m.
Giả sử có một đồng xu cân bằng (fair coin) và một đồng xu thiên lệch (biased coin) mà mặt ngửa (heads) xuất hiện với xác suất \dfrac{3}{4}. Một người chơi chọn ngẫu nhiên một trong hai đồng xu và tung nó ba lần. Gọi A là biến cố: “Người chơi chọn đồng xu cân bằng”; B là biến cố: “Ba lần tung đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa”.
Phát biểu
Đúng
Sai
a
P(A) = \dfrac{1}{2}
b
P(B\,|\,A) = \dfrac{3}{8}
c
Xác suất người đó chọn được đồng xu cân bằng biết rằng kết quả ba lần tung đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa là 0,25 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
d
Biết rằng đồng xu được chọn tung ba lần đều xuất hiện mặt ngửa, xác suất người chơi đó tung lần thứ tư tiếp tục xuất hiện mặt ngửa là 0,69 (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Phần III
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Để tiết kiệm tiền sau này cho việc học đại học của con, cô Bình quyết định gửi 1{,}5 triệu đồng cuối mỗi tháng vào ngân hàng với lãi suất mỗi tháng là 0{,}3\% theo hình thức lãi kép. Cô bắt đầu gửi tiền khi con cô tròn 3 tuổi. Cô Bình sẽ tiết kiệm được bao nhiêu tiền vào thời điểm con cô tròn 18 tuổi nếu cô không rút lãi và lãi suất ngân hàng không thay đổi trong suốt quá trình gửi tiết kiệm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo triệu đồng).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C và AC = 4. Biết SA vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \dfrac{12}{5}. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
Một bức tường hình chữ nhật ABCD có kích thước lần lượt 6 m và 4 m được bạn Minh trang trí bằng cách vẽ hai đồ thị hàm số f(x) = a^x\ (0 < a \ne 1) và g(x) = \log_b x\ (0 < b \ne 1) đối xứng nhau qua đường thẳng y = x. Bức tường được chia thành ba phần. Phần H_1 được sơn màu xanh da trời, phần H_2 sơn màu vàng và phần H_3 được sơn màu xanh lá cây. Bạn Minh cần mua các hộp sơn mà mỗi hộp chỉ sơn được một màu tương ứng với các màu bạn Minh định sơn. Biết rằng mỗi hộp sơn chỉ sơn được tối đa 3 m^2 tường, giá một hộp sơn màu xanh da trời là 120000 đồng, giá một hộp sơn màu xanh lá cây là 140000 đồng, giá một hộp sơn màu vàng là 160000 đồng. Cửa hàng chỉ bán số hộp sơn là các số nguyên dương. Bạn Minh cần bao nhiêu triệu đồng mua sơn để trang trí cho bức tường đó?
Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở hai vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm A(5;7;10) và B(6;9;12). Người thứ hai bắn một viên đạn đi qua hai điểm C(15;17;5) và D (điểm D ở độ cao 26 m so với mặt đất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn va chạm với nhau tại vị trí cách điểm A một khoảng 150 m. Hỏi D cách C một khoảng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Xác suất bé An được mẹ dẫn theo khi đi mua sắm là \dfrac{2}{5}. Khi bé An được đi theo mẹ thì 70% bé sẽ được mua đồ chơi. Khi bé không đi theo mẹ, có thể mẹ vẫn mua đồ chơi cho bé. Xác suất bé được đi theo mẹ biết rằng bé được mẹ mua cho đồ chơi là \dfrac{14}{23}. Khi bé không đi theo mẹ, xác suất bé được mẹ mua cho đồ chơi là bao nhiêu?
Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy B. Hai nhà máy thỏa thuận, mỗi tháng A cung cấp cho B tối đa 45 tấn sản phẩm và nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là P(x) = 60 - 0{,}01x^2 (triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là C(x) = 150 + 33x (triệu đồng). Để mỗi tháng thu được lợi nhuận lớn nhất thì A cần bán cho B bao nhiêu tấn sản phẩm?
Xem đáp án và bài mẫu
Answer key
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9. Tọa độ tâm của mặt cầu đã cho là
(2;-1;3)
(-2;1;3)
(-2;1;-3)
(-2;-1;3)
Giải thích câu 1
Giải thích chi tiết
😎 Cùng DOL xem qua cách giải câu này nhé!
📃 Thông tin đề bài cho:
Cho mặt cầu (S) có phương trình: (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9.
❓ Hiểu câu hỏi:
Yêu cầu tìm tọa độ tâm của mặt cầu đã cho.
Áp dụng kiến thức về phương trình chuẩn của mặt cầu trong không gian: (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2, khi đó tâm là (x_0, y_0, z_0).
🔎 Hướng dẫn cách làm:
Bước 1: Nhắc lại dạng chuẩn của phương trình mặt cầu: (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2.
Bước 2: So sánh với phương trình cho trước (x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9.
Bước 3: Nhận thấy
x - 2 tương ứng với x - x_0 nên x_0 = 2.
y + 1 tương ứng với y - y_0 tức y - (-1) nên y_0 = -1.
z - 3 tương ứng với z - z_0 nên z_0 = 3.
Bước 4: Kết luận tọa độ tâm là (2; -1; 3).
✅ Đáp án: (2; -1; 3)
❌ Các đáp án khác:
B. (-2; 1; 3): dấu của hoành độ và tung độ ngược lại so với kết quả đúng.
C. (-2; 1; -3): sai cả dấu của x, y và z.
D. (-2; -1; 3): sai dấu hoành độ (phải là +2 chứ không phải -2).
Hiện bạn đang luyện đề THPTQG Môn Toán thuộc chuyên mục luyện thi THPT Quốc gia. Để tiếp tục rèn luyện với nhiều đề thi khác, bạn có thể luyện tập thêm các đề thi liên quan trực tiếp khác dưới đây.
